Secciones cónicas por envolventes
A continuación, se presenta una segunda caracterización de las secciones cónicas; aquella denominada frecuentemente como envolventes por familias de curvas. Asociada a esta, se exhibe una forma de construir estas curvas a partir de rectas perpendiculares que cumplen ciertas condiciones, con base en las cuales, teniendo como horizonte el cumplimiento de las propiedades dadas en la definición por lugar geométrico, se puede justificar el resultado del procedimiento de construcción (esto es, que la curva es de algún tipo de cónica y que la recta perpendicular protagonista del procedimiento resulta ser tangente a la curva).
Como se puede apreciar en la imagen, la curva con extremos A y B es envolvente a una familia de curvas A , que en este caso es el conjunto de rectas tangentes a la curva .
En lo que sigue, presentaremos una caracterización por envolventes de cada uno de los tipos de cónicas; Parábola, elipse, e hipérbola. Dicha caracterización se basa en métodos constructivos que dan lugar a los diversos tipos de curvas. Exponemos, además, por qué cada método proporciona la curva correspondiente. Las justificaciones toman de referencia el sistema axiomático para la geometría euclidiana propuesto por Moise y Downs (1986). La presentación de estas construcciones es clave debido a que serán objeto de estudio en el recurso diseñado.
Parábola
Método 1 de construcción de parabola por envolventes
Parábola por envolvente: Para determinar la parábola como envolvente de una familia de rectas el procedimiento consiste en construir una recta y un punto que no pertenezca a esta, seguido de rectas mediatrices al punto y a todos los puntos de la recta. la familia de rectas mediatrices, son las que determinan el lugar geométrico y esta a su vez son tangente a la curva. El primer método de construcción y su validacion formal se presenta en el siguiente documento pdf.
Método 2 de construcción de parabola por envolventes
A continuación, se presenta el método 2 de construcción de parábola por envolventes el cual es usual para construir Hiloramas.
En el siguiente documento se vizlumbra la equivalencia entre el método 1 de envolventes a una Parábola con el uso de la mediatriz y el método 2 que es usual para construir hiloramas. La justificacion de lo anteriormente dicho se presenta en el documento en pdf.
Elipse
En lo que sigue, presentaremos dos métodos de construcción para determinar la elipse por envolventes, el primero necesario para justificar el segundo; vale resaltar que, este último es el usual cuando se elaboran hiloramas.
Métodos de construcción de elipse por envolventes
Justificacion de la elipse por envolventes
Hipérbola
Hipérbola por envolvente: Para determinar la hipérbola como envolvente de una familia de rectas el procedimiento es análogo al de la elipse, solo que en este caso el punto que se construye queda afuera de la circunferencia, donde el centro y el punto, al igual que la elipse, son los focos de la curva y de igual manera la recta mediatriz, es tangente a la hipérbola
En el siguiente documento se presenta el procedimiento de construccion para la hiperbola por envolventes.
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